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Analysis 总览,数学的历史,及第一部分:逻辑(至1.2结束)

Analysis 总览,数学的历史,及第一部分:逻辑(至1.2结束)

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这里所说的讲义请在以下文章中点击下载:讲义文章


 

具体内容根据教授授课内容不同而有所不同:

本讲义主要包括以下几个内容:

  1. 逻辑和集合论
  2. 函数和关系
  3. 自然数,归纳法
  4. 实数
  5. 复数
  6. 多项式
  7. 极限
  8. 极限和收敛
  9. 微积分

看起来和普通的国内数学没有不同,但是整体理论框架搭设的思路和方式还是有很大区别的,可以说逻辑抽象贯穿始终,更容易让人不仅知其然,还知其所以然,不同点概括在这篇文章里:基础数学的教学区别


为了便于理解,首先我们来理清一下数学中各种定义的命名和回顾一下数学的历史,

因为关于历史各说各话,所以略过不同的部分,这里只提共性:

  1. 数学是人们认识世界需求产生的产物,随时代进步而不断发展,因此首先数学永远先是工具性;
  2. 当人们需要记数时,公元前35000年,开始有简单的计数系统;之后,要适应贸易的要求,算账、税务之类的,推动了算术的发展,因此这时贸易,尤其是自由货币贸易盛行的国家,算术和早期数学发展更为迅速;
  3. 透过时间观察计数系统的传承与淘汰,可以发现抽象是内在要求非常强的逻辑,而抽象即是对认识世界的提炼,谁认识世界更透彻,谁的抽象更有效;
  4. 之后,推动数学发展的源动力来源于对世界的认知,几何、物理、化学的发展,要求人们探索未知,寻找规律;
  5. 之后的数学家开始在早期数学的基础上进行整个数学体系的系统化和架构,本博客里常说的基础数学,更多的也是指这部分工作;
  6. 电子电路的出现、计算机的出现更是极大的推动了数学的发展。

1.基础数学逻辑和集合论

这是整个数学和科学世界的基础和根基,其中有几个概念和国内工科高等数学中的概念容易混淆,请注意区分:

1.2论断的计算

[danger]这个请把思路放宽,把逻辑的概念拓宽,不要仅仅局限在数学领域,否则会影响后面的理解。[/danger]

1.2.1论断

这里的论断,德语Aussage,英语statement,其实就是任意的一个陈述,无论说的是什么张三李四王二麻子,

1.2.2逻辑运算符

  • 逻辑与
  • 逻辑并
  • 逻辑非
  • [danger]蕴涵(不建议按照中文意思理解,建议单独记implication,比较容易造成误解)[/danger]
  • 逻辑等价(后边也将讲到等价的严格定义)

这部分国内工科高等数学的解决方法是通过条件和集合综合来解释清的,但在数学范畴内可能比较好理解,但限制了学生的想像力,减弱了数学的抽象作用的教学。

具体的运算方法:https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%BB%E8%BE%91%E8%BF%90%E7%AE%97%E7%AC%A6

这里的拓展其实非常多,基础的电路,与非门及最基础的逻辑推理,小学数学竞赛的逻辑推理题等等

1.2.3运算规则

这个也非常清晰和明白,不多说

这里重点说一下几个定义:

  1. Tautologie。中文音译是套套逻辑,有点小暴力的名字,这个不能按照字面上理解,也不建议按照中文维基百科理解,会造成狭隘的理解,个人认为,假如按照同义反复的维基上的解释理解就是错的。其实这个本质就是讲义上提到的universally true,即这个逻辑里的所有论断都为true的时候,这个逻辑才是正确的。这个在语义学里,就可以有所拓展和运用了。
  2. 逻辑等价。定义1.8中,当且仅当两个逻辑是一个Tautologie的时候,这种关系才叫等价。这里也有个引理,就是逻辑内的n个论断值是一样的时候。
  3. [danger]不建议在思考这部分的时候通过国内教学常用的文氏图来理解,会有影响。[/danger]

 


引用声明:

  1. 维基百科:数学史,更加客观的德语数学史
  2. 浙江大学公开课:数学传奇
  3. 2017/2018, LMU, Pro. Dr. Philip Calculus I for Computer Science and Statistics Students;
  4. 《数学之美》,吴军;
  5. Analysis 1, Walter, Springer;
  6. Analysis 1, Königsberger, Springer;

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